Եթե քառակուսային եռանդամի տարբերիչը բացասական չէ (D ≥ 0), ապա եռանդամը վերլուծվում է գծային արտադրիչների. ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2):
Այս ձևափոխությամբ կարող ենք գտնել եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը։ Դիտարկենք մեկական օրինակ, երբ D > 0 և D = 0:
Օրինակ 1
Պարզենք ա) 2x2 − 8x + 6, բ) −2x2 − 6x − 4.5 արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։
Լուծում։ ա) 2x2 − 8x + 6 եռանդամը վերլուծենք արտադրիչների։Դրա համար լուծենք 2x2 −8x + 6=0
հավասարումը.
D = (−8)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 16,
x1=(8 +√16 )/2 ⋅ 2 = 3, x2=(8 −√16 )/2 ⋅ 2 = 1:
Այսպիսով՝ 2x2 − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3):Ստացված արտահայտությունը դրական է (−∞, 1) ու (3, +∞)
միջակայքերում և բացասական՝ (1, 3)-ում։
բ) −2x2 − 6x − 4.5 D = (−6)2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−4.5) = 0,
x1= x2= − 6/2 ⋅ (−2) = −1.5:
Ուրեմն՝ −2x2 − 6x − 4.5 = −2(x + 1.5)2:
Այս արտահայտությունն ունի երկու նշանապահպանման միջակայք՝ (−∞, −1.5) և (−1.5, +∞)-ը։ Այդ միջակայքերում արտահայտությունը բացասական է։
Իսկ ինչպե՞ս որոշենք քառակուսային եռանդամի նշանը, երբ տարբերիչը բացասական է։ Այդ դեպքում եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների։ Պարզվում է, որ այդ դեպքում քառակուսային եռանդամը բոլոր կետերում ունի իր ավագ անդամի՝ a-ի նշանը։
Օրինակ 2 Պարզենք ա) − x2 + 3x − 7, բ) 3 x2 − x + 1 քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը։
Լուծում: ա) Գտնենք − x2 + 3x − 7 եռանդամի արմատները.
− x2 + 3x − 7 = 0,
D = 32 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−7) = −19 < 0:
Քանի որ D < 0, ուրեմն հավասարումն արմատ չունի։ x-ի բոլոր արժեքների դեպքում եռանդամն ունի իր ավագ անդամի նշանը։ Քանի որ a = −1, ուրեմն (−∞, +∞) միջակայքում եռանդամը բացասական է։
բ) 3x2 − x + 1 = 0,
D = (−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = −11 < 0:
Այսպիսով, եռանդամի տարբերիչը բացասական է։ Քանի որ ավագ անդամի գործակիցը դրական է, ուրեմն եռանդամը դրական է x-ի բոլոր արժեքների դեպքում՝ (−∞, +∞) միջակայքում։
Առաջադրանքներ։
1․ Որոշել քառակուսային եռանդամի նշանը տրված կետում․
ա) x2 + 4x − 8, x = 2, բ) 3 x2 − 10x + 2, x = −1, գ) −2 x2 + 7x + 11, x = 1.5, դ) 2 x2 + 5x − 20, x = 4:
Նարե Մելքոնյանի բլոգ 